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\fly 分析初步

定义

• 设 \(S\) 是一个非空集合, 我们用 \(\mathbb{C}^S\) 表示从 \(S\) 到 \(\mathbb{C}\) 的全部映射所成之集, 也即定义在 \(S\) 上的全体复值函数所成之集.

对任意的 \(f,g\in\mathbb{C}^S\) 以及 \(\lambda\in \mathbb{C}\), 令

$$

\begin{array}  {c}
    (f+g)(x)=f(x)+g(x), \\
    (\lambda f)(x)=\lambda f(x),
\end{array}
\quad\forall x\in S.

$$

则在上述运算下 \(\mathbb{C}^S\) 是 \(\mathbb{C}\) 上的线性空间, 从而 \(\mathbb{C}^S\) 有一个基.

\fly 级数定义

定义 复值函数积分

• 对于复值函数 \(g(x)=u(x)+\text i v(x),\ u(x),v(x)\in \mathbb{R}[x]\). 若 \(u(x),v(x)\) 均在 \([a,b]\) 上可积, 则定义 $$ \int_a^b g(x)\text{d} x=\int_a^b u(x)\text{d} x+\text i\int_a^b v(x)\text{d} x. $$

不难验证, 按上述定义的复值函数积分, 也满足实值函数积分的运算法则, 如分部积分以及\(\text{微积分学基本定理}\).

定义

• 设 \(\mathcal{l}\) 是一个正常数, 记 \(e(t):=e^{2\pi \text i t}\), 我们称形如

$$

    \frac{a_0} 2+\sum\limits_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{2\pi nx}{\mathcal l}+b_n\sin\frac{2\pi nx}{\mathcal l}\right)

$$

$$

    \sum\limits_{n\in\mathbb{Z}} c_ne\left(\frac{nx}{\mathcal{l}}\right)

$$

的关于变量 $x$ 的函数项级数为**三角级数 ($\text{trigonometric series}$)**, 其中 \eqref{三角级数1} 的级数收敛是指极限  $$ \lim\limits_{N\to\infty}\sum\limits_{n=-N}^N c_ne\left(\frac{nx}{\mathcal l}\right) $$  存在. 我们称以上两个级数的部分和为**三角多项式 ($\text{trigonometic ploynomial}$)**.

利用欧拉公式 \(e^{\text{i}\theta}=\cos\theta+\text{i}\sin\theta\), 我们可以探究 \eqref{三角级数1} 和 \eqref{三角级数2} 之间的关系.

如果记
$$

\left\lbrace \begin{array}  {l}
    c_0 = \dfrac{a_0} 2,\\
    c_n = \dfrac{a_n-\text{i} b_n} 2,\ \ c_{-n} = \dfrac{a_n+\text{i} b_n} 2,\quad \forall n\geqslant 1.
\end{array}\right.

$$

那么就可以将 \eqref{三角级数1} 变为 \eqref{三角级数2} 的形式.

注

• \(a_n,b_n\in\mathbb{R}\Leftrightarrow c_n=\overline{c_{-n}}\).

我们把在区间 \([a,b]\) 上黎曼可积, 或者在 \([a,b]\) 上有有限多个奇点但积分 \(\mint[a]^b |f(x)|\text{d} x\) 收敛的全体实值函数所成之集记作 \(\mathscr{R}[a,b]\).

定义

• 设 \(\mathcal l\) 是一个正实数, \(f(x)\) 是定义在 \(\mathbb{R}\) 上的以 \(\mathcal l\) 为周期的函数, 并且 \(f\in \mathscr{R}[0,\mathcal l]\).

  我们记

$$

    a_n=\frac 2{\mathcal{l}} \int_0^{\mathcal l} f(x)\cos\frac{2\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x,\quad \forall n\geqslant 0.

$$

$$

b_n=\frac 2{\mathcal{l}} \int_0^{\mathcal l} f(x)\sin\frac{2\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x,\quad \forall n\geqslant 0.

$$

$$

c_n=\frac 1{\mathcal{l}} \int_0^{\mathcal l} f(x)e\left(-\frac{nx}{\mathcal l}\right)\text{d} x,\quad \forall n\geqslant 0.

$$

由上三式定义的$\text{三角级数}$称作 $f(x)$ 的 **\fly 级数 (\fly$\text{series}$)** 或 **\fly 展开式 (\fly$\text{expansion}$)**, 记作

$$

    f(x)\sim\frac{a_0} 2+\sum\limits_{n=1}^\infty\left(a_n\cos\frac{2\pi nx}{\mathcal l}+b_n\sin\frac{2\pi nx}{\mathcal l}\right)

$$

$$

    f(x)\sim\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}} c_ne\left(\frac{nx}{\mathcal{l}}\right)

$$

称 $a_n,b_n,c_n$ 为 $f(x)$ 的 **\fly 系数**. 通常将 $c_n$ 记作 $\hat{f}(n)$.

注

• 上述定义中采用 \(\sim\) 的记号是因为目前我们并不知道 \(f(x)\) 的 \fly 级数是否收敛于 \(f(x)\).

定义

• 设 \(f\) 是定义在 \((0,\mathcal l)\) 上的函数, 如果以 \(2\mathcal l\) 为周期的函数 \(g\) 满足 $$ g(x) = \left\lbrace \begin{array} {c}
  f(x),\quad x\in(0,\mathcal l) \\ f(-x),\quad x\in (-\mathcal l,0).
  \end{array}\right. $$
  则称 \(g\) 为 \(f\) 的偶性延拓, 此时 \(g\) 是 \((-\mathcal l,\mathcal l)\backslash\{0\}\) 上的偶函数.

  如果以 \(2\mathcal l\) 为周期的函数 \(h\) 满足 $$ h(x) = \left\lbrace \begin{array} {c}
  f(x),\quad x\in(0,\mathcal l) \\ -f(-x),\quad x\in (-\mathcal l,0).
  \end{array}\right. $$
  则称 \(g\) 为 \(f\) 的奇性延拓, 此时 \(h\) 是 \((-\mathcal l,\mathcal l)\backslash\{0\}\) 上的奇函数.

为了方便, 我们将 \(f\) 作偶性延拓/奇性延拓得到的函数仍记作 \(f\).

定义

• 如果对 \(f\) 做偶性延拓, 那么它的 \fly 级数中只含有余弦项, 称为 \(f(x)\) 的余弦级数, 记作 $$ f(x)\sim \frac{a_0} 2+\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_n\cos\frac{\pi n x}{\mathcal l}, $$ 其中
  $$

  a_n=\frac 1 {\mathcal l}\int_{-\mathcal l}^{\mathcal l} f(x)\cos\frac{\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x=\frac 2 {\mathcal l}\int_0^{\mathcal l} f(x)\cos\frac{\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x.
  

$$

如果对 $f$ 做奇性延拓, 那么它的 \fly 级数中只含有正弦项, 称为 $f(x)$ 的**正弦级数**, 记作  $$ f(x)\sim \sum\limits_{n=1}^{\infty} b_n\sin\frac{\pi n x}{\mathcal l}, $$  其中

$$

    b_n=\frac 1 {\mathcal l}\int_{-\mathcal l}^{\mathcal l} f(x)\sin\frac{\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x=\frac 2 {\mathcal l}\int_0^{\mathcal l} f(x)\sin\frac{\pi n x}{\mathcal l}\text{d} x.

$$

局部化原理

引理 黎曼-勒贝格引理

• 设 \(f\in\mathscr R[a,b]\)(这里 \(a\) 可以是 \(+\infty\), \(b\) 可以是 \(+\infty\)), 那么 $$ \lim\limits_{\lambda\to\infty}\int_a^b f(x)e(\lambda x)\text{d} x=0. $$ 特别地, \(\lim\limits_{|n|\to\hat{f}(n)}=0\).

注

• 由引理 以及 $$ \cos\theta = \frac{e^{\text{i} \theta}+e^{-\text{i}\theta}},\qquad \sin\theta=\frac{e^{\text{i}\theta}-e^{-\text{i}\theta}}. $$

  我们可以推出 $$ \begin{array} {c}
  \lim\limits_{\lambda\to\infty}\mint[a]^b f(x)\cos\lambda x\text{d} x=0,\\ \lim\limits_{\lambda\to\infty}\mint[a]^b f(x)\sin\lambda x\text{d} x=0.
  \end{array} $$

  进而可以得到 $$ \lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}b_n=0. $$

下面研究 \(f(x)\in\mathscr R[0,1]\) 的 \fly 级数的收敛性问题. 而对于周期是一般的正实数的情形, 可以通过伸缩变换或者类似的讨论研究.

此时 \fly 级数为 $$ f(x)\sim\sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}\hat f (n)e^(nx), $$ 其中
$$

\hat f (n)=\int_0^1 f(t)e(-nt)\text{d} t.

$$

用 $$ S_N(x)=\sum\limits_{n=-N}^N \hat f(n)e(nx) $$ 表示该 \fly 级数的部分和, 那么将 \eqref{fhat} 代入可得
$$

\setlength{\arraycolsep}{0.5pt}
\begin{array}  {rcl}
    S_N(x)&=&\sum\limits_{n=-N}^Ne(nx)\mint[0]^1 f(t)e(-nt)\text{d} t=\mint[0]^1f(t)\sum\limits_{n=-N}^Ne(n(x-t))\text{d} t\\
    &=&\mint[0]^1f(t)D_N(x-t)\text{d} t.

\end{array}

$$

定义 狄利克雷核

• 上式中 \(D_N(y):=\sum\limits_{n=-N}^Ne(ny)\) 称为狄利克雷核 (Dirichlet kernel).

首先, \(D_N(y)\) 是以 \(1\) 为周期的偶函数.

\(y=0\) 时, 有 \(D_N(0)=2N+1\).

\(y\in(0,1)\) 时, 有 $$
\setlength{\arraycolsep}{0.5pt}
\begin{array} {rcl}
D_N(y) &=& \dfrac{e(-Ny)(e((2N+1)y)-1)}{e(y)-1}=\dfrac{e\left(\dfrac{2N+1}{2}y\right)-e\left(-\dfrac{2N+1}{2}y\right)}{e\left(\dfrac{y}2\right)-e\left(-\dfrac y 2\right)} \
&=&\dfrac{\sin(2N+1)\pi y}{\sin\pi y}.
\end{array} $$

那么在 \eqref{fly部分和} 中作变量替换 \(t\mapsto x-t\) 可得 $$ S_N(x)\int_{x-1}^x f(x-t)D_N(t)\text{d} t. $$

又被积函数的周期是 \(1\). 所以
$$

S_N(x) = \int_0^{\frac 1 2}(f(x+t)+f(x-t))D_N(t)\text{d} t.

$$

此外, \(D_N(t)\) 是偶函数.

$$

\int_0^{\frac 1 2}D_N(t)\text{d} t=\frac 1 2\int_{-\frac 1 2}^{\frac 1 2}D_N(t)\text{d} t=\frac 1 2\sum\limits_{n=-N}^N\int_{-\frac 1 2}^{\frac 1 2}e(nt)\text{d} t=\frac 1 2.

$$

上述求和考虑交换积分求和号后用等比数列求和公式.

定理 黎曼局部化原理

• 假设 \(f\) 是以 \(1\) 为周期的函数并且 \(f\in\mathscr R[0,1]\), 那么对给定的 \(x\), \(f\) 的 \fly 级数在点 \(x\) 处收敛于 \(s\) 当且仅当存在 \(\delta>0\) 使得

$$

    \lim\limits_{N\to\infty}\int_0^{\delta}(f(x+t)+f(x-t)-2s)\frac{\sin(2N+1)\pi t}{t}\text{d} t=0.

$$

定理 迪尼判别法

• 设 \(f\) 是以 \(1\) 为周期的函数并且 \(f\in\mathscr R[0,1]\), 如果对给定的 \(x\) 及 \(s\), 存在 \(\delta\in(0,1)\) 使得 \(\dfrac{f(x+t)+f(x-t)-2s}{t}\) 是关于变量 \(t\) 的属于 \(\mathscr{R}[0,\delta]\) 的函数 (单独定义该函数在 \(0\) 处的值), 那么 \(f\) 的 \fly 级数在 \(x\) 处收敛于 \(s\).

定义

• 设 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的邻域 \((x_0-\delta,x_0+\delta)\) (事实上, 只要求去心邻域内) 内有定义, 若存在常数 \(L>0\) 及 \(\alpha>0\) 使得对任意的 \(x\in(x_0-\delta,x_0)\) 有 $$ |f(x)-f(x_0-0)|\leqslant L|x-x_0|^\alpha, $$
  且对任意的 \(x\in(x_0,x_0+\delta)\) 有 $$ |f(x)-f(x_0+0)|\leqslant L|x-x_0|^\alpha. $$ 则称 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 附近满足\(\alpha\) 阶利普希茨条件

注

• 上述定理中 \(f(x_0-0)\) 和 \(f(x_0+0)\) 分别表示 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处的左/右极限.

注

• 一般而言, 我们不会去研究 \(\alpha>1\) 时的情况, 因为当 \(\alpha>1\) 时, 考虑 $$ \left|\dfrac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\right|\leqslant L x^{\alpha-1}, $$ 当 \(x\to x_0\) 时, 右侧为 \(0\) 即 \(f'(x)=0\), \(f(x)\) 是常值函数.

推论

• 设 \(f\) 以 \(1\) 为周期且 \(f\in\mathscr R[0,1],\alpha\in(0,1]\). 如果 \(f\) 在 \(x\) 的附近满足 \(\alpha\) 阶利普希茨条件, 那么 \(f\) 的 \fly 级数在 \(x\) 处收敛于 \(\dfrac{f(x+0)+f(x-0)}{2}\). 特别地, 若 \(x\) 是 \(f\) 的连续点, 则 \(f\) 的 \fly 级数在 \(x\) 处收敛于 \(f(x)\).

证明

• 考虑证明 \(s=\dfrac{f(x+0)+f(x-0)}{2}\) 满足定理 的条件.

定义

• 设 \(f\) 是定义在 \([a,b]\) 上的一个函数, 若存在 \([a,b]\) 的一个分划 $$ a=x_0<x_1<\cdots<x_n=b, $$ 使得在每个子区间 \([x_{j-1},x_j]\) 上定义的函数 $$
  g_j(x)=\left\lbrace \begin{array} {ll}
  f(x_{j-1}+0), &x=x_{j-1},\\ f(x),&x\in(x_{j-1},x_j) \\ f(x_j-0), & x=x_j
  \end{array}\right.
  $$
  均在 \([x_{j-1},x_j]\) 上可微, 则称 \(f\) 是 \([a,b]\) 上的分段可微函数.

推论

• 设 \(f\) 是以 \(1\) 为周期且在 \([0,1]\) 上分段可微的函数, 则 \(f\) 的 \fly 级数在每个点 \(x\) 处均收敛于 \(\dfrac{f(x+0)+f(x-0)} 2\). 特别地, 若 \(f\) 满足以上条件且 \(x\) 是 \(f\) 的连续点, 则 \(f\) 的 \fly 级数在 \(x\) 处收敛于 \(f(x)\).

例

• \[ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\cos 2\pi n x}{n^2}=\pi^2\left(x^2-x+\frac 1 6\right). \]

  当 \(x=0\) 则有 $$ \zeta(2)=\sum\limits_{n=1}^\infty \frac 1{n^2}=\frac {\pi^2} 6. $$

  $$ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{\sin n} n=\frac{\pi-1}2. $$

费耶尔定理

定义

• 设 \(\sum\limits_{n=1}^\infty u_n\) 是一个级数, 用 \(S_n\) 表示其部分和, 即 \(S_n=\sum\limits_{k=1}^n u_k\). 再记 $$ \sigma_n=\frac{S_1+S_2+\cdots+S_n}n, $$ 并称之为 \(\sum\limits{n=1}^\infty u_n\) 的第 \(n\) 个切萨罗和. 如果 \(\{\sigma_n\}\) 收敛, 则称 \(\sum\limits_{n=1}^\infty u_n\) 是切萨罗可和的, 此时称 \(\{\sigma_n\}\) 的极限为 \(\sum\limits_{n=1}^\infty u_n\) 的切萨罗和.

定理 费耶尔

• 设 \(f\) 是定义在 \(\mathbb{R}\) 上的以 \(1\) 为周期的函数且 \(f\) 在 \([0,1]\) 上\(\text{黎曼可积}\), 又设 \(f\) 至多有\(\text{第一类间断点}\), 则 \(f\) 的 \fly 级数是切萨罗可和的, 且在 \(x\) 处的切萨罗和为 $$ \frac{f(x+0)+f(x-0)}2. $$ 特别地, 若 \(x\) 是连续点, 则 \(x\) 处的切萨罗和为 \(f(x)\).

注

• P234

定理

• 设 \(f\) 是 \([0,1]\) 上的连续函数且 \(f(0)=f(1)\), 则对任意的 \(\varepsilon>0\), 存在\(\text{三角多项式}\) \(P(x)=\sum\limits_{n=-N}^N c_ne(nx)\) 使得 $$ \max\limits_{x\in[0,1]}|f(x)-P(x)|<\varepsilon $$

命题 \fly 级数的唯一性

• 设 \(f,g\) 均是以 \(1\) 为周期的连续函数, 如果对任意的 \(n\) 有 \(\hat f(n)=\hat g(n)\), 那么 \(f=g\).

均值定理

\renewcommand{\tiaojian}{设 \(f\) 以 \(1\) 为周期且 \(f\in\mathscr{R}^2[0,1]\)}

定义

• 设 \(f\) 是以 \(1\) 为周期的实值函数, 并且 \(f\) 在 \([0,1]\) 上可积或者 \(f\) 在 \([0,1]\) 上有有限多个奇点但反常积分 \(\mint[0]^1 f(x)^2\text{d} x\) 收敛, 我们把满足上述条件的 \(f\) 所成的集合记作 \(\mathscr{R}^2[0,1]\). 值得一提的, \(\mathscr{R}^2[0,1]\subseteq\mathscr{R}[0,1]\).

定理

• \tiaojian.

  (1) 对任意的正整数 \(N\) 及复数 \(\alpha_n\ (-N\leqslant n\leqslant N)\) 有
  $$ \int_0^1\left|f(x)-\sum\limits_{n=-N}^N \alpha_n e(nx)\right|^2\text{d} x\geqslant\int_0^1\left|f(x)-\sum\limits_{n=-N}^N\hat f(x)e(nx)\right|^2\text{d} x. $$
  (2) 我们有 $$ \int_0^1\left|f(x)-\sum\limits_{n=-N}^N\hat f(x)e(nx)\right|^2\text{d} x=\int_0^1 f(x)^2\text{d} x-\sum\limits_{n=-N}^N|\hat f(n)|^2 $$

注

• 注意辨别上述过程中每一项是实数还是复数, 上式中 \(|x|\) 均表为复数的模长.\

  并利用 \(\mint[0]^1 f(x)e(nx)\text{d} x=\overline{\mint[0]^1 f(x)e(-nx)\text{d} x}=\overline{\hat f(n)}\).\

  \(2\Re \alpha_n\overline{\hat f(n)}=\overline{\alpha_n}\hat f(n)+\alpha_n\overline{\hat f(n)}\). 两倍实部等于自身加共轭.

定理 贝塞尔 (\(\text{Bessel}\)) 不等式

• \tiaojian, 则对任意的整数 \(N\) 有 $$ \sum\limits_{n=-N}^N|\hat f(n)|^2\leqslant\int_0^1 f(x)^2\text{d} x. $$

定理 \fly 级数在积分均值意义下的收敛性

• \tiaojian, 则有
  $$

  \lim\limits_{N\to \infty}\inf_0^1\left|f(x)-\sum\limits_{n=-N}^N \hat f(n)e(nx)\right|^2\text{d} x = 0.
  

$$

定理 帕塞瓦尔 (\(\text{Parseval}\)) 恒等式

• \tiaojian, 则 $$ \sum\limits_{n\in\mathbb{Z}}|\hat f(n)|^2=\int_0^1f(x)^2\text{d} x. $$ 如果用 \(a_n,b_n\) 表示也即

$$

    \int_0^1 f(x)^2\text{d} x=\frac{a_0^2} 4+\frac 1 2\sum\limits_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2).

$$

例

• 利用例 及上述定理知 $$ \int_{-\frac 12}^{\frac 12} x^4\text{d} x=\frac 1 {144}+\frac 1 2\sum\limits_{n=1}^\infty \frac1{\pi^4n^4}, $$ 整理可得 $$ \zeta(4)=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1 {n^4}=\frac{\pi^4}{90}. $$

注

• 类似的, 设 \(k\in\mathbb{Z}_{\geqslant1}\). 通过考察以 \(1\) 为周期的函数 $$ f(x)=x^k,\quad\forall x\in[-\frac{1}{2},\frac 1 2) $$ 可以归纳的证明 $$ \zeta(2k)=\frac{(-1)^{k+1}B_{2k}(2\pi)^{2k}}{2(2k)!} $$ 其中 \(B_n\) 是\(\text{伯努利数}\).

定理 广义帕塞瓦尔恒等式

• 设 \(f,g\) 均是以 \(1\) 为周期的函数, 且 \(f,g\in\mathscr{R}^2[0,1]\), 则 $$ \sum\limits{n\in\mathbb{Z}}\hat f(n)\overline{\hat g (n)}=\int_0^1 f(x)g(x)\text{d} x. $$